{l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=11$$

$$y=36$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-10x+3y=-2$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$-10x=-3y-2$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

-\frac{1}{10} санын -3y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

4 санын \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

\frac{6y}{5} санын -y санына қосу.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

Екі жағын да 5 мәніне көбейтіңіз.

$$y=36$$

x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5} теңдеуінде 36 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

\frac{3}{10} санын 36 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{5} бөлшегіне \frac{54}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=36$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=11,y=36$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

-10x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -10 санына көбейтіңіз.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -40x+10y=-80 мәнін -40x+12y=-8 мәнінен алып тастаңыз.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

-40x санын 40x санына қосу. -40x және 40x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-10y=-8+80$$

12y санын -10y санына қосу.

$$2y=-8+80$$

-8 санын 80 санына қосу.

$$2y=72$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=36$$

4x-y=8 теңдеуінде 36 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-36=8$$

Теңдеудің екі жағына да 36 санын қосыңыз.

$$4x=44$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=36$$