{l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=12$$

$$y=30$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 30 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-6y=-120$$

Теңдеудің екі жағына да 6y санын қосыңыз.

$$5x=6y-120$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

\frac{1}{5} санын -120+6y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Басқа теңдеуде \frac{6y}{5}-24 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

3 санын \frac{6y}{5}-24 санына көбейтіңіз.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

\frac{18y}{5} санын -2y санына қосу.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Теңдеудің екі жағына да 72 санын қосыңыз.

$$\frac{8}{5}y=48$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=30$$

x=\frac{6}{5}y-24 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

\frac{6}{5} санын 30 санына көбейтіңіз.

$$x=36-24$$

-24 санын 36 санына қосу.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=30$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 30 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=12,y=30$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 30 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Қысқартыңыз.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-10y=-120 мәнін 15x-18y=-360 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-18y+10y=-360+120$$

-18y санын 10y санына қосу.

$$-8y=-360+120$$

-360 санын 120 санына қосу.

$$-8y=-240$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=30$$

3x-2y=-24 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\times 30=-24$$

-2 санын 30 санына көбейтіңіз.

$$3x-60=-24$$

Теңдеудің екі жағына да 60 санын қосыңыз.

$$3x=36$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=30$$