{l}{x/3+y/4=-7/12}{x/2+frac{y}{3}=-frac{1}{6}} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = - \frac { 7 } { 12 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=11$$

$$y=-17$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}\right)$$

3 санын -\frac{y}{4}-\frac{7}{12} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-7}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

\frac{1}{2} санын \frac{-3y-7}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

-\frac{3y}{8} санын \frac{y}{3} санына қосу.

$$-\frac{1}{24}y-\frac{7}{8}=-\frac{1}{6}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{7}{8} санын қосыңыз.

$$-\frac{1}{24}y=\frac{17}{24}$$

Екі жағын да -24 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-17$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4} теңдеуінде -17 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-17\right)-\frac{7}{4}$$

-\frac{3}{4} санын -17 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{51-7}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{4} бөлшегіне \frac{51}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=-17$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&18\\36&-24\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\left(-\frac{7}{12}\right)+18\left(-\frac{1}{6}\right)\\36\left(-\frac{7}{12}\right)-24\left(-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=11,y=-17$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

\frac{x}{3} және \frac{x}{2} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{12}\right),\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24},\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18} мәнін \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

\frac{x}{6} санын -\frac{x}{6} санына қосу. \frac{x}{6} және -\frac{x}{6} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

\frac{y}{8} санын -\frac{y}{9} санына қосу.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{24} бөлшегіне \frac{1}{18} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{17}{72}$$

Екі жағын да 72 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-17$$

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6} теңдеуінде -17 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-17\right)=-\frac{1}{6}$$

\frac{1}{3} санын -17 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}x-\frac{17}{3}=-\frac{1}{6}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{17}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{1}{2}x=\frac{11}{2}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=-17$$