{l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Көбейту операцияларын орындау.

$$4x+3y=12-12$$

0 мәнін алу үшін, 12 мәнінен 12 мәнін алып тастаңыз.

$$4x+3y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 20 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 мәнін 2x+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 мәнін y-2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4y және -10y мәндерін қоссаңыз, -6y мәні шығады.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 мәнін x+y-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 мәнін y-x-1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

5y және -2y мәндерін қоссаңыз, 3y мәні шығады.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

5x және 2x мәндерін қоссаңыз, 7x мәні шығады.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 мәнін алу үшін, -15 және 2 мәндерін қосыңыз.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Екі жағынан да 7x мәнін қысқартыңыз.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

8x және -7x мәндерін қоссаңыз, x мәні шығады.

$$x-6y+20=3y-13$$

Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-6y және -3y мәндерін қоссаңыз, -9y мәні шығады.

$$x-9y+20=-13$$

Екі жағынан да 20 мәнін қысқартыңыз.

$$x-9y=-13-20$$

-33 мәнін алу үшін, -13 мәнінен 20 мәнін алып тастаңыз.

$$x-9y=-33$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=0$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

\frac{1}{4} санын -3y санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

-\frac{3y}{4} санын -9y санына қосу.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{39}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{44}{13}$$

x=-\frac{3}{4}y теңдеуінде \frac{44}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{44}{13} санын -\frac{3}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Көбейту операцияларын орындау.

$$4x+3y=12-12$$

0 мәнін алу үшін, 12 мәнінен 12 мәнін алып тастаңыз.

$$4x+3y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 20 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 мәнін 2x+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 мәнін y-2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4y және -10y мәндерін қоссаңыз, -6y мәні шығады.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 мәнін x+y-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 мәнін y-x-1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

5y және -2y мәндерін қоссаңыз, 3y мәні шығады.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

5x және 2x мәндерін қоссаңыз, 7x мәні шығады.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 мәнін алу үшін, -15 және 2 мәндерін қосыңыз.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Екі жағынан да 7x мәнін қысқартыңыз.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

8x және -7x мәндерін қоссаңыз, x мәні шығады.

$$x-6y+20=3y-13$$

Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-6y және -3y мәндерін қоссаңыз, -9y мәні шығады.

$$x-9y+20=-13$$

Екі жағынан да 20 мәнін қысқартыңыз.

$$x-9y=-13-20$$

-33 мәнін алу үшін, -13 мәнінен 20 мәнін алып тастаңыз.

$$x-9y=-33$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Көбейту операцияларын орындау.

$$4x+3y=12-12$$

0 мәнін алу үшін, 12 мәнінен 12 мәнін алып тастаңыз.

$$4x+3y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 20 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 мәнін 2x+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 мәнін y-2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4y және -10y мәндерін қоссаңыз, -6y мәні шығады.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 мәнін x+y-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 мәнін y-x-1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

5y және -2y мәндерін қоссаңыз, 3y мәні шығады.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

5x және 2x мәндерін қоссаңыз, 7x мәні шығады.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 мәнін алу үшін, -15 және 2 мәндерін қосыңыз.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Екі жағынан да 7x мәнін қысқартыңыз.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

8x және -7x мәндерін қоссаңыз, x мәні шығады.

$$x-6y+20=3y-13$$

Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-6y және -3y мәндерін қоссаңыз, -9y мәні шығады.

$$x-9y+20=-13$$

Екі жағынан да 20 мәнін қысқартыңыз.

$$x-9y=-13-20$$

-33 мәнін алу үшін, -13 мәнінен 20 мәнін алып тастаңыз.

$$x-9y=-33$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

4x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Қысқартыңыз.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x-36y=-132 мәнін 4x+3y=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+36y=132$$

3y санын 36y санына қосу.

$$39y=132$$

Екі жағын да 39 санына бөліңіз.

$$y=\frac{44}{13}$$

x-9y=-33 теңдеуінде \frac{44}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

-9 санын \frac{44}{13} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{396}{13} санын қосыңыз.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$