{l}{x+1/3+y-1/2=2}{2x-1/3+1-y/2=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { 3 } + \frac { y - 1 } { 2 } = 2 } \\ { \frac { 2 x - 1 } { 3 } + \frac { 1 - y } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2,\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2$$

\frac{1}{3} санын x+1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2$$

\frac{1}{2} санын y-1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=2$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{6} санын қосыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{13}{6}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{6}$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{6}\right)$$

3 санын -\frac{y}{2}+\frac{13}{6} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+13}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1.

$$\frac{1}{3}\left(2\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

2 санын \frac{-3y+13}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}\left(-3y+13-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

13 санын -1 санына қосу.

$$\frac{1}{3}\left(-3y+12\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

\frac{1}{3} санын -3y+12 санына көбейтіңіз.

$$-y+4+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

\frac{1}{2} санын -y+1 санына көбейтіңіз.

$$-y+4-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=1$$

-y санын -\frac{y}{2} санына қосу.

$$-\frac{3}{2}y+4+\frac{1}{2}=1$$

4 санын \frac{1}{2} санына қосу.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{7}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{7}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2} теңдеуінде \frac{7}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{13}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{3} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{-7+13}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{2} бөлшегіне -\frac{7}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=\frac{7}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2,\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

Бірінші теңдеуді стандартты формулаға келтіру үшін оңайлатыңыз.

$$\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2$$

\frac{1}{3} санын x+1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2$$

\frac{1}{2} санын y-1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=2$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{6} санын қосыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{13}{6}$$

Екінші теңдеуді стандартты формулаға келтіру үшін оңайлатыңыз.

$$\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

\frac{1}{3} санын 2x-1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1$$

\frac{1}{2} санын -y+1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=1$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{3} бөлшегіне \frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{6} санын алып тастаңыз.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}y=\frac{5}{6}$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{4}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13+5}{6}\\\frac{4}{3}\times \frac{13}{6}-\frac{2}{3}\times \frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=\frac{7}{3}$$