{l}{m/2+n/3=2}{m/3-n=5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { m } { 2 } + \frac { n } { 3 } = 2 } \\ { \frac { m } { 3 } - n = 5 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=6$$

$$n=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{n}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}m=-\frac{1}{3}n+2$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$m=2\left(-\frac{1}{3}n+2\right)$$

2 санын -\frac{n}{3}+2 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{2}{3}n+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{2n}{3}+4 мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{3}m-n=5.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}n+4\right)-n=5$$

\frac{1}{3} санын -\frac{2n}{3}+4 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{9}n+\frac{4}{3}-n=5$$

-\frac{2n}{9} санын -n санына қосу.

$$-\frac{11}{9}n+\frac{4}{3}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{9}n=\frac{11}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=-3$$

m=-\frac{2}{3}n+4 теңдеуінде -3 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-\frac{2}{3}\left(-3\right)+4$$

-\frac{2}{3} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$m=2+4$$

4 санын 2 санына қосу.

$$m=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=6,n=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{6}{11}&-\frac{9}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\times 2+\frac{6}{11}\times 5\\\frac{6}{11}\times 2-\frac{9}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=6,n=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

\frac{m}{2} және \frac{m}{3} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{3} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}m+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}n=\frac{1}{3}\times 2,\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}m+\frac{1}{2}\left(-1\right)n=\frac{1}{2}\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n=\frac{2}{3},\frac{1}{6}m-\frac{1}{2}n=\frac{5}{2}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{6}m-\frac{1}{2}n=\frac{5}{2} мәнін \frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n=\frac{2}{3} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{6}m-\frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n+\frac{1}{2}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

\frac{m}{6} санын -\frac{m}{6} санына қосу. \frac{m}{6} және -\frac{m}{6} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{9}n+\frac{1}{2}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

\frac{n}{9} санын \frac{n}{2} санына қосу.

$$\frac{11}{18}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне -\frac{5}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{11}{18}n=-\frac{11}{6}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{18} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=-3$$

\frac{1}{3}m-n=5 теңдеуінде -3 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{3}m-\left(-3\right)=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}m=2$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$m=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=6,n=-3$$