{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 40 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 шығару үшін, 10 және 5 сандарын көбейтіңіз.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 мәнін x-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 шығару үшін, -4 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 мәнін 2y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 мәнін алу үшін, -150 мәнінен 12 мәнін алып тастаңыз.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 мәнін x+y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 мәнін алу үшін, 4 мәнінен 7 мәнін алып тастаңыз.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 мәнін -3-7x-7y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Екі жағына 35x қосу.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x және 35x мәндерін қоссаңыз, 85x мәні шығады.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Екі жағына 35y қосу.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y және 35y мәндерін қоссаңыз, 11y мәні шығады.

$$85x-162+11y=-15$$

Екі жағына 162 қосу.

$$85x+11y=-15+162$$

147 мәнін алу үшін, -15 және 162 мәндерін қосыңыз.

$$85x+11y=147$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. -5 мәнін 2y-7 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$6x-10y+35=21$$

Екі жағынан да 35 мәнін қысқартыңыз.

$$6x-10y=21-35$$

-14 мәнін алу үшін, 21 мәнінен 35 мәнін алып тастаңыз.

$$6x-10y=-14$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$85x+11y=147$$

Теңдеудің екі жағынан 11y санын алып тастаңыз.

$$85x=-11y+147$$

Екі жағын да 85 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

\frac{1}{85} санын -11y+147 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Басқа теңдеуде \frac{-11y+147}{85} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

6 санын \frac{-11y+147}{85} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-\frac{66y}{85} санын -10y санына қосу.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{882}{85} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{916}{85} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} теңдеуінде \frac{518}{229} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{518}{229} санын -\frac{11}{85} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{147}{85} бөлшегіне -\frac{5698}{19465} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{329}{229}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 40 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 шығару үшін, 10 және 5 сандарын көбейтіңіз.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 мәнін x-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 шығару үшін, -4 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 мәнін 2y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 мәнін алу үшін, -150 мәнінен 12 мәнін алып тастаңыз.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 мәнін x+y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 мәнін алу үшін, 4 мәнінен 7 мәнін алып тастаңыз.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 мәнін -3-7x-7y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Екі жағына 35x қосу.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x және 35x мәндерін қоссаңыз, 85x мәні шығады.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Екі жағына 35y қосу.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y және 35y мәндерін қоссаңыз, 11y мәні шығады.

$$85x-162+11y=-15$$

Екі жағына 162 қосу.

$$85x+11y=-15+162$$

147 мәнін алу үшін, -15 және 162 мәндерін қосыңыз.

$$85x+11y=147$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. -5 мәнін 2y-7 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$6x-10y+35=21$$

Екі жағынан да 35 мәнін қысқартыңыз.

$$6x-10y=21-35$$

-14 мәнін алу үшін, 21 мәнінен 35 мәнін алып тастаңыз.

$$6x-10y=-14$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 40 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 шығару үшін, 10 және 5 сандарын көбейтіңіз.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 мәнін x-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 шығару үшін, -4 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 мәнін 2y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 мәнін алу үшін, -150 мәнінен 12 мәнін алып тастаңыз.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 мәнін x+y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 мәнін алу үшін, 4 мәнінен 7 мәнін алып тастаңыз.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 мәнін -3-7x-7y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Екі жағына 35x қосу.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x және 35x мәндерін қоссаңыз, 85x мәні шығады.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Екі жағына 35y қосу.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y және 35y мәндерін қоссаңыз, 11y мәні шығады.

$$85x-162+11y=-15$$

Екі жағына 162 қосу.

$$85x+11y=-15+162$$

147 мәнін алу үшін, -15 және 162 мәндерін қосыңыз.

$$85x+11y=147$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. -5 мәнін 2y-7 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$6x-10y+35=21$$

Екі жағынан да 35 мәнін қысқартыңыз.

$$6x-10y=21-35$$

-14 мәнін алу үшін, 21 мәнінен 35 мәнін алып тастаңыз.

$$6x-10y=-14$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 85 санына көбейтіңіз.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Қысқартыңыз.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 510x-850y=-1190 мәнін 510x+66y=882 мәнінен алып тастаңыз.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

510x санын -510x санына қосу. 510x және -510x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$66y+850y=882+1190$$

66y санын 850y санына қосу.

$$916y=882+1190$$

882 санын 1190 санына қосу.

$$916y=2072$$

Екі жағын да 916 санына бөліңіз.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14 теңдеуінде \frac{518}{229} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

-10 санын \frac{518}{229} санына көбейтіңіз.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5180}{229} санын қосыңыз.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{329}{229}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$