{l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 мәнін алу үшін, -5 мәнінен 4 мәнін алып тастаңыз.

$$2x-9+3y=-1$$

Екі жағына 9 қосу.

$$2x+3y=-1+9$$

8 мәнін алу үшін, -1 және 9 мәндерін қосыңыз.

$$2x+3y=8$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=8$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

-1 санын -\frac{3y}{2}+4 санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

\frac{3y}{2} санын y санына қосу.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{18}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+4 теңдеуінде \frac{18}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{18}{5} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

4 санын -\frac{27}{5} санына қосу.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 мәнін алу үшін, -5 мәнінен 4 мәнін алып тастаңыз.

$$2x-9+3y=-1$$

Екі жағына 9 қосу.

$$2x+3y=-1+9$$

8 мәнін алу үшін, -1 және 9 мәндерін қосыңыз.

$$2x+3y=8$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 мәнін алу үшін, -5 мәнінен 4 мәнін алып тастаңыз.

$$2x-9+3y=-1$$

Екі жағына 9 қосу.

$$2x+3y=-1+9$$

8 мәнін алу үшін, -1 және 9 мәндерін қосыңыз.

$$2x+3y=8$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

2x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+2y=10 мәнін -2x-3y=-8 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-2y=-8-10$$

-3y санын -2y санына қосу.

$$-5y=-8-10$$

-8 санын -10 санына қосу.

$$-5y=-18$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{18}{5}$$

-x+y=5 теңдеуінде \frac{18}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{18}{5} санын алып тастаңыз.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$