{l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+7y+3y=0$$

7y және 3y мәндерін қоссаңыз, 10y мәні шығады.

$$2x+10y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Екі жағына 2x қосу.

$$2x+5y-1+2x=4$$

2x және 2x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+5y-1=4$$

Екі жағына 1 қосу.

$$4x+5y=4+1$$

5 мәнін алу үшін, 4 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$4x+5y=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+10y=0$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$2x=-10y$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

\frac{1}{2} санын -10y санына көбейтіңіз.

$$x=-5y$$

Басқа теңдеуде -5y мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

4 санын -5y санына көбейтіңіз.

$$-20y+5y=5$$

-20y санын 5y санына қосу.

$$-15y=5$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=-5y теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

-5 санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+7y+3y=0$$

7y және 3y мәндерін қоссаңыз, 10y мәні шығады.

$$2x+10y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Екі жағына 2x қосу.

$$2x+5y-1+2x=4$$

2x және 2x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+5y-1=4$$

Екі жағына 1 қосу.

$$4x+5y=4+1$$

5 мәнін алу үшін, 4 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$4x+5y=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+7y+3y=0$$

7y және 3y мәндерін қоссаңыз, 10y мәні шығады.

$$2x+10y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Екі жағына 2x қосу.

$$2x+5y-1+2x=4$$

2x және 2x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+5y-1=4$$

Екі жағына 1 қосу.

$$4x+5y=4+1$$

5 мәнін алу үшін, 4 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$4x+5y=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+10y=10 мәнін 8x+40y=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$40y-10y=-10$$

40y санын -10y санына қосу.

$$30y=-10$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{3}$$

4x+5y=5 теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

5 санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{3} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$