{l}{2/3x+[(x+2y)(x-1)-x^2+x]=1/2(1+y/2)+y(2x-2)}{2y-13/3x=-3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + [ ( x + 2 y ) ( x - 1 ) - x ^ { 2 } + x ] = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { y } { 2 } ) + y ( 2 x - 2 ) } \\ { 2 y - \frac { 13 } { 3 } x = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$4x+6\left(x+2y\right)\left(x-1\right)-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6 мәнін x+2y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+\left(6x+12y\right)\left(x-1\right)-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6x+12y мәнін x-1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+6x^{2}-6x+12yx-12y-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

4x және -6x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+6x^{2}+12yx-12y-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6x^{2} және -6x^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$-2x+12yx-12y+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

-2x және 6x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+12yx-12y=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

3 мәнін 1+\frac{y}{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+12yx-12y=3+3\times \frac{y}{2}+6y\left(2x-2\right)$$

3\times \frac{y}{2} өрнегін бір бөлшек ретінде көрсету.

$$4x+12yx-12y=3+\frac{3y}{2}+6y\left(2x-2\right)$$

6y мәнін 2x-2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+12yx-12y=3+\frac{3y}{2}+12yx-12y$$

Екі жағынан да \frac{3y}{2} мәнін қысқартыңыз.

$$4x+12yx-12y-\frac{3y}{2}=3+12yx-12y$$

Екі жағынан да 12yx мәнін қысқартыңыз.

$$4x+12yx-12y-\frac{3y}{2}-12yx=3-12y$$

12yx және -12yx мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$4x-12y-\frac{3y}{2}=3-12y$$

Екі жағына 12y қосу.

$$4x-12y-\frac{3y}{2}+12y=3$$

-12y және 12y мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$4x-\frac{3y}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$8x-3y=6$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x-3y=6,-\frac{13}{3}x+2y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x-3y=6$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$8x=3y+6$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(3y+6\right)$$

\frac{1}{8} санын 6+3y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{3}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{3}{4}+\frac{3y}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -\frac{13}{3}x+2y=-3.

$$-\frac{13}{3}\left(\frac{3}{8}y+\frac{3}{4}\right)+2y=-3$$

-\frac{13}{3} санын \frac{3}{4}+\frac{3y}{8} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{13}{8}y-\frac{13}{4}+2y=-3$$

-\frac{13y}{8} санын 2y санына қосу.

$$\frac{3}{8}y-\frac{13}{4}=-3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{13}{4} санын қосыңыз.

$$\frac{3}{8}y=\frac{1}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{8} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=\frac{3}{8}y+\frac{3}{4} теңдеуінде \frac{2}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{8}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2}{3} санын \frac{3}{8} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1+3}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{4} бөлшегіне \frac{1}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$4x+6\left(x+2y\right)\left(x-1\right)-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6 мәнін x+2y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+\left(6x+12y\right)\left(x-1\right)-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6x+12y мәнін x-1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+6x^{2}-6x+12yx-12y-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

4x және -6x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+6x^{2}+12yx-12y-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6x^{2} және -6x^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$-2x+12yx-12y+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

-2x және 6x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+12yx-12y=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

3 мәнін 1+\frac{y}{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+12yx-12y=3+3\times \frac{y}{2}+6y\left(2x-2\right)$$

3\times \frac{y}{2} өрнегін бір бөлшек ретінде көрсету.

$$4x+12yx-12y=3+\frac{3y}{2}+6y\left(2x-2\right)$$

6y мәнін 2x-2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+12yx-12y=3+\frac{3y}{2}+12yx-12y$$

Екі жағынан да \frac{3y}{2} мәнін қысқартыңыз.

$$4x+12yx-12y-\frac{3y}{2}=3+12yx-12y$$

Екі жағынан да 12yx мәнін қысқартыңыз.

$$4x+12yx-12y-\frac{3y}{2}-12yx=3-12y$$

12yx және -12yx мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$4x-12y-\frac{3y}{2}=3-12y$$

Екі жағына 12y қосу.

$$4x-12y-\frac{3y}{2}+12y=3$$

-12y және 12y мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$4x-\frac{3y}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$8x-3y=6$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x-3y=6,-\frac{13}{3}x+2y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&-3\\-\frac{13}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&-3\\-\frac{13}{3}&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-\frac{13}{3}&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-3\\-\frac{13}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-\frac{13}{3}&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-\frac{13}{3}&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-\frac{13}{3}&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-\left(-3\left(-\frac{13}{3}\right)\right)}&-\frac{-3}{8\times 2-\left(-3\left(-\frac{13}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{13}{3}}{8\times 2-\left(-3\left(-\frac{13}{3}\right)\right)}&\frac{8}{8\times 2-\left(-3\left(-\frac{13}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\\frac{13}{9}&\frac{8}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6-3\\\frac{13}{9}\times 6+\frac{8}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$4x+6\left(x+2y\right)\left(x-1\right)-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6 мәнін x+2y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+\left(6x+12y\right)\left(x-1\right)-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6x+12y мәнін x-1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+6x^{2}-6x+12yx-12y-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

4x және -6x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$-2x+6x^{2}+12yx-12y-6x^{2}+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

6x^{2} және -6x^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$-2x+12yx-12y+6x=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

-2x және 6x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+12yx-12y=3\left(1+\frac{y}{2}\right)+6y\left(2x-2\right)$$

3 мәнін 1+\frac{y}{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+12yx-12y=3+3\times \frac{y}{2}+6y\left(2x-2\right)$$

3\times \frac{y}{2} өрнегін бір бөлшек ретінде көрсету.

$$4x+12yx-12y=3+\frac{3y}{2}+6y\left(2x-2\right)$$

6y мәнін 2x-2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$4x+12yx-12y=3+\frac{3y}{2}+12yx-12y$$

Екі жағынан да \frac{3y}{2} мәнін қысқартыңыз.

$$4x+12yx-12y-\frac{3y}{2}=3+12yx-12y$$

Екі жағынан да 12yx мәнін қысқартыңыз.

$$4x+12yx-12y-\frac{3y}{2}-12yx=3-12y$$

12yx және -12yx мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$4x-12y-\frac{3y}{2}=3-12y$$

Екі жағына 12y қосу.

$$4x-12y-\frac{3y}{2}+12y=3$$

-12y және 12y мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$4x-\frac{3y}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$8x-3y=6$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x-3y=6,-\frac{13}{3}x+2y=-3$$

8x және -\frac{13x}{3} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -\frac{13}{3} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{13}{3}\times 8x-\frac{13}{3}\left(-3\right)y=-\frac{13}{3}\times 6,8\left(-\frac{13}{3}\right)x+8\times 2y=8\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-\frac{104}{3}x+13y=-26,-\frac{104}{3}x+16y=-24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -\frac{104}{3}x+16y=-24 мәнін -\frac{104}{3}x+13y=-26 мәнінен алып тастаңыз.

$$-\frac{104}{3}x+\frac{104}{3}x+13y-16y=-26+24$$

-\frac{104x}{3} санын \frac{104x}{3} санына қосу. -\frac{104x}{3} және \frac{104x}{3} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$13y-16y=-26+24$$

13y санын -16y санына қосу.

$$-3y=-26+24$$

-26 санын 24 санына қосу.

$$-3y=-2$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{2}{3}$$

-\frac{13}{3}x+2y=-3 теңдеуінде \frac{2}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-\frac{13}{3}x+2\times \frac{2}{3}=-3$$

2 санын \frac{2}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{13}{3}x+\frac{4}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{13}{3}x=-\frac{13}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{13}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$