{c}{y=2x+1}{y=-5x+15} шешу

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 x + 1 } \\ { y = - 5 x + 15 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$y+5x=15$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-2x=1$$

Теңдеудің екі жағына да 2x санын қосыңыз.

$$y=2x+1$$

Басқа теңдеуде 2x+1 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+5x=15.

$$2x+1+5x=15$$

2x санын 5x санына қосу.

$$7x+1=15$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$7x=14$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=2$$

y=2x+1 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2\times 2+1$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$y=4+1$$

1 санын 4 санына қосу.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$y+5x=15$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\times 15\\-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=5,x=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$y+5x=15$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y+5x=15 мәнін y-2x=1 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y-2x-5x=1-15$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2x-5x=1-15$$

-2x санын -5x санына қосу.

$$-7x=1-15$$

1 санын -15 санына қосу.

$$-7x=-14$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=2$$

y+5x=15 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+5\times 2=15$$

5 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$y+10=15$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=2$$