{c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24} шешу

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$2y+5x=12$$

Теңдеудің екі жағынан 5x санын алып тастаңыз.

$$2y=-5x+12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

\frac{1}{2} санын -5x+12 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Басқа теңдеуде -\frac{5x}{2}+6 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-6 санын -\frac{5x}{2}+6 санына көбейтіңіз.

$$15x-36-2x=-24$$

15x санын -2x санына қосу.

$$13x-36=-24$$

Теңдеудің екі жағына да 36 санын қосыңыз.

$$13x=12$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$x=\frac{12}{13}$$

y=-\frac{5}{2}x+6 теңдеуінде \frac{12}{13} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{12}{13} санын -\frac{5}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

6 санын -\frac{30}{13} санына қосу.

$$y=\frac{48}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y және -6y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -12y-4x=-48 мәнін -12y-30x=-72 мәнінен алып тастаңыз.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

-12y санын 12y санына қосу. -12y және 12y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-30x+4x=-72+48$$

-30x санын 4x санына қосу.

$$-26x=-72+48$$

-72 санын 48 санына қосу.

$$-26x=-24$$

Екі жағын да -26 санына бөліңіз.

$$x=\frac{12}{13}$$

-6y-2x=-24 теңдеуінде \frac{12}{13} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

-2 санын \frac{12}{13} санына көбейтіңіз.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{24}{13} санын қосыңыз.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{48}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$