∫ (from 1 to 2) of x^2left(x^3+1right)^2 wrt x шешу

$$\int_{ 1 }^{ 2 } { x }^{ 2 } { \left( { x }^{ 3 } +1 \right) }^{ 2 } d x$$

Есептеу

$$\frac{721}{9}\approx 80.111111111$$

Шешім қадамдары

\left(x^{3}+1\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$\int _{1}^{2}x^{2}\left(\left(x^{3}\right)^{2}+2x^{3}+1\right)\mathrm{d}x$$

Бір санның дәрежесін басқа дәрежеге көтеру үшін, дәреже көрсеткіштерін көбейтіңіз. 6 көрсеткішін алу үшін, 3 және 2 мәндерін көбейтіңіз.

$$\int _{1}^{2}x^{2}\left(x^{6}+2x^{3}+1\right)\mathrm{d}x$$

x^{2} мәнін x^{6}+2x^{3}+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$\int _{1}^{2}x^{8}+2x^{5}+x^{2}\mathrm{d}x$$

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int x^{8}+2x^{5}+x^{2}\mathrm{d}x$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int x^{8}\mathrm{d}x+\int 2x^{5}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$\int x^{8}\mathrm{d}x+2\int x^{5}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{8}\mathrm{d}x және\frac{x^{9}}{9} орындарын ауыстырыңыз.

$$\frac{x^{9}}{9}+2\int x^{5}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{5}\mathrm{d}x және\frac{x^{6}}{6} орындарын ауыстырыңыз. 2 санын \frac{x^{6}}{6} санына көбейтіңіз.

$$\frac{x^{9}}{9}+\frac{x^{6}}{3}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{2}\mathrm{d}x және\frac{x^{3}}{3} орындарын ауыстырыңыз.

$$\frac{x^{9}}{9}+\frac{x^{6}}{3}+\frac{x^{3}}{3}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{6}}{3}+\frac{2^{9}}{9}-\left(\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{6}}{3}+\frac{1^{9}}{9}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{721}{9}$$