∫ (from 0 to 1) of x^2left(x-4right)^2 wrt x шешу

$$\int_{ 0 }^{ 1 } { x }^{ 2 } { \left(x-4 \right) }^{ 2 } d x$$

Есептеу

$$\frac{53}{15}\approx 3.533333333$$

Шешім қадамдары

\left(x-4\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$\int _{0}^{1}x^{2}\left(x^{2}-8x+16\right)\mathrm{d}x$$

x^{2} мәнін x^{2}-8x+16 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$\int _{0}^{1}x^{4}-8x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int x^{4}-8x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -8x^{3}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-8\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{4}\mathrm{d}x және\frac{x^{5}}{5} орындарын ауыстырыңыз.

$$\frac{x^{5}}{5}-8\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{3}\mathrm{d}x және\frac{x^{4}}{4} орындарын ауыстырыңыз. -8 санын \frac{x^{4}}{4} санына көбейтіңіз.

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{2}\mathrm{d}x және\frac{x^{3}}{3} орындарын ауыстырыңыз. 16 санын \frac{x^{3}}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{x^{5}}{5}-2x^{4}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{16x^{3}}{3}-2x^{4}+\frac{x^{5}}{5}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$\frac{16}{3}\times 1^{3}-2\times 1^{4}+\frac{1^{5}}{5}-\left(\frac{16}{3}\times 0^{3}-2\times 0^{4}+\frac{0^{5}}{5}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{53}{15}$$