∫ (from 1 to 4) of (sqrt{x}-x) wrt x шешу

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } ( \sqrt { x } - x ) d x$$

Есептеу

$$-\frac{17}{6}\approx -2.833333333$$

Шешім қадамдары

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int \sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} мәнін x^{\frac{1}{2}} ретінде қайта жазыңыз. \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x және\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} орындарын ауыстырыңыз. Қысқартыңыз.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x\mathrm{d}x және\frac{x^{2}}{2} орындарын ауыстырыңыз. -1 санын \frac{x^{2}}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^{2}}{2}-\left(\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-\frac{17}{6}$$