∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x шешу

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Есептеу

$$-\frac{16}{3}\approx -5.333333333$$

Шешім қадамдары

\left(4-\sqrt{x}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

2 дәреже көрсеткішінің \sqrt{x} мәнін есептеп, x мәнін алыңыз.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

16-8\sqrt{x}+x теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

-10 мәнін алу үшін, 6 мәнінен 16 мәнін алып тастаңыз.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Жалпы интегралдар \int a\mathrm{d}x=ax ережесін кестесін қолдана отырып, -10 интегралын табыңыз.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} мәнін x^{\frac{1}{2}} ретінде қайта жазыңыз. \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x және\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} орындарын ауыстырыңыз. Қысқартыңыз. 8 санын \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} санына көбейтіңіз.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x\mathrm{d}x және\frac{x^{2}}{2} орындарын ауыстырыңыз. -1 санын \frac{x^{2}}{2} санына көбейтіңіз.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Қысқартыңыз.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-\frac{16}{3}$$