∫ (from 0 to 3) of (9-x^2)^2 шешу

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } ( 9 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 }$$

Есептеу

$$\frac{648}{5}=129.6$$

Шешім қадамдары

\left(9-x^{2}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$\int _{0}^{3}81-18x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Бір санның дәрежесін басқа дәрежеге көтеру үшін, дәреже көрсеткіштерін көбейтіңіз. 4 көрсеткішін алу үшін, 2 және 2 мәндерін көбейтіңіз.

$$\int _{0}^{3}81-18x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int 81-18x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int 81\mathrm{d}x+\int -18x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$\int 81\mathrm{d}x-18\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Жалпы интегралдар \int a\mathrm{d}x=ax ережесін кестесін қолдана отырып, 81 интегралын табыңыз.

$$81x-18\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{2}\mathrm{d}x және\frac{x^{3}}{3} орындарын ауыстырыңыз. -18 санын \frac{x^{3}}{3} санына көбейтіңіз.

$$81x-6x^{3}+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{4}\mathrm{d}x және\frac{x^{5}}{5} орындарын ауыстырыңыз.

$$81x-6x^{3}+\frac{x^{5}}{5}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$\frac{3^{5}}{5}-6\times 3^{3}+81\times 3-\left(\frac{0^{5}}{5}-6\times 0^{3}+81\times 0\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{648}{5}$$