∫ (from 0 to 1) of 4x(1+x)^3 wrt x шешу

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 4 x ( 1 + x ) ^ { 3 } d x$$

Есептеу

$$\frac{49}{5}=9.8$$

Шешім қадамдары

\left(1+x\right)^{3} формуласын жіктеу үшін \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$\int _{0}^{1}4x\left(1+3x+3x^{2}+x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

4x мәнін 1+3x+3x^{2}+x^{3} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$\int _{0}^{1}4x+12x^{2}+12x^{3}+4x^{4}\mathrm{d}x$$

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int 4x+12x^{2}+12x^{3}+4x^{4}\mathrm{d}x$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 12x^{2}\mathrm{d}x+\int 12x^{3}\mathrm{d}x+\int 4x^{4}\mathrm{d}x$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$4\int x\mathrm{d}x+12\int x^{2}\mathrm{d}x+12\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x\mathrm{d}x және\frac{x^{2}}{2} орындарын ауыстырыңыз. 4 санын \frac{x^{2}}{2} санына көбейтіңіз.

$$2x^{2}+12\int x^{2}\mathrm{d}x+12\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{2}\mathrm{d}x және\frac{x^{3}}{3} орындарын ауыстырыңыз. 12 санын \frac{x^{3}}{3} санына көбейтіңіз.

$$2x^{2}+4x^{3}+12\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{3}\mathrm{d}x және\frac{x^{4}}{4} орындарын ауыстырыңыз. 12 санын \frac{x^{4}}{4} санына көбейтіңіз.

$$2x^{2}+4x^{3}+3x^{4}+4\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{4}\mathrm{d}x және\frac{x^{5}}{5} орындарын ауыстырыңыз. 4 санын \frac{x^{5}}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x^{2}+4x^{3}+3x^{4}+\frac{4x^{5}}{5}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$2\times 1^{2}+4\times 1^{3}+3\times 1^{4}+\frac{4}{5}\times 1^{5}-\left(2\times 0^{2}+4\times 0^{3}+3\times 0^{4}+\frac{4}{5}\times 0^{5}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{49}{5}$$