∫ (from - 2 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x шешу

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

Есептеу

$$\frac{2048}{105}\approx 19.504761905$$

Шешім қадамдары

\left(4x-x^{3}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Бір негіздің дәрежелерін көбейту үшін, олардың дәреже көрсеткіштерін қосыңыз. 4 көрсеткішін алу үшін, 1 және 3 мәндерін қосыңыз.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Бір санның дәрежесін басқа дәрежеге көтеру үшін, дәреже көрсеткіштерін көбейтіңіз. 6 көрсеткішін алу үшін, 3 және 2 мәндерін көбейтіңіз.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{2}\mathrm{d}x және\frac{x^{3}}{3} орындарын ауыстырыңыз. 16 санын \frac{x^{3}}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{4}\mathrm{d}x және\frac{x^{5}}{5} орындарын ауыстырыңыз. -8 санын \frac{x^{5}}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int x^{6}\mathrm{d}x және\frac{x^{7}}{7} орындарын ауыстырыңыз.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{\left(-2\right)^{7}}{7}-\frac{8}{5}\left(-2\right)^{5}+\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{2048}{105}$$