∫ (from - 1 to 1) of t(1-t)^2dt шешу

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } t ( 1 - t ) ^ { 2 } d t$$

Есептеу

$$-\frac{4}{3}\approx -1.333333333$$

Шешім қадамдары

\left(1-t\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$\int _{-1}^{1}t\left(1-2t+t^{2}\right)\mathrm{d}t$$

t мәнін 1-2t+t^{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$\int _{-1}^{1}t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Алдымен белгісіз интегралды бағалаңыз.

$$\int t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Қосындыны мүше бойынша интегралдау.

$$\int t\mathrm{d}t+\int -2t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Әрбір шарттағы тұрақты мәнді фактор.

$$\int t\mathrm{d}t-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int t\mathrm{d}t және\frac{t^{2}}{2} орындарын ауыстырыңыз.

$$\frac{t^{2}}{2}-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int t^{2}\mathrm{d}t және\frac{t^{3}}{3} орындарын ауыстырыңыз. -2 санын \frac{t^{3}}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} үшін k\neq -1 болғандықтан, \int t^{3}\mathrm{d}t және\frac{t^{4}}{4} орындарын ауыстырыңыз.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{4}}{4}$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{t^{4}}{4}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}$$

Анықталған интеграл интеграцияның төменгі шегінде бағаланатын кері туындыны алып тастағанда интегралдың жоғарғы шегінде бағаланатын өрнектің кері туынды түрі болып табылады.

$$\frac{1^{4}}{4}-\frac{2}{3}\times 1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-\frac{4}{3}$$