x/7+y/3=5;-x/14+3y=26 шешу

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=14$$

$$y=9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 21 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 7,3.

$$3x+7y=105$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 14 мәніне көбейтіңіз.

$$-x+42y=364$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+7y=105$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$3x=-7y+105$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

\frac{1}{3} санын -7y+105 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Басқа теңдеуде -\frac{7y}{3}+35 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-1 санын -\frac{7y}{3}+35 санына көбейтіңіз.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

\frac{7y}{3} санын 42y санына қосу.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Теңдеудің екі жағына да 35 санын қосыңыз.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{133}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35 теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

-\frac{7}{3} санын 9 санына көбейтіңіз.

$$x=-21+35$$

35 санын -21 санына қосу.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 21 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 7,3.

$$3x+7y=105$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 14 мәніне көбейтіңіз.

$$-x+42y=364$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=14,y=9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 21 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 7,3.

$$3x+7y=105$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 14 мәніне көбейтіңіз.

$$-x+42y=364$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Қысқартыңыз.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3x+126y=1092 мәнін -3x-7y=-105 мәнінен алып тастаңыз.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

-3x санын 3x санына қосу. -3x және 3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-7y-126y=-105-1092$$

-7y санын -126y санына қосу.

$$-133y=-105-1092$$

-105 санын -1092 санына қосу.

$$-133y=-1197$$

Екі жағын да -133 санына бөліңіз.

$$y=9$$

-x+42y=364 теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+42\times 9=364$$

42 санын 9 санына көбейтіңіз.

$$-x+378=364$$

Теңдеудің екі жағынан 378 санын алып тастаңыз.

$$-x=-14$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=9$$