გადაწყვიტეთ z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ჩაანაცვლეთ t-ით z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -1 b-თვის და 1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

გამომდინარე შემდეგიდან: z=t^{3}, პასუხები მიღებულია თითოეული t-ის განტოლების პასუხით.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$