გადაწყვიტეთ {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8x+2y=46$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=-2y+46$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+23}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{4} 3y-ს.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

გამოაკელით \frac{161}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{27}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{27}{5}-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე \frac{27}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

მიუმატეთ \frac{23}{4} -\frac{27}{20}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{22}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

იმისათვის, რომ 8x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

გაამარტივეთ.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

გამოაკელით 56x+24y=376 56x+14y=322-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

მიუმატეთ 56x -56x-ს. პირობები 56x და -56x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$14y-24y=322-376$$

მიუმატეთ 14y -24y-ს.

$$-10y=322-376$$

მიუმატეთ 322 -376-ს.

$$-10y=-54$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$y=\frac{27}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{27}{5}-ით y აქ: 7x+3y=47. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

გამოაკელით \frac{81}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=\frac{154}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{22}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$