გადაწყვიტეთ z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z=-5$$

$$z=2$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ z^{2}+3z-10 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=-10$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -10.

$$-1,10 -2,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-2 b=5$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(z+a\right)\left(z+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით z-2=0 და z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც z^{2}+az+bz-10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -10.

$$-1,10 -2,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-2 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ z^{2}+3z-10, როგორც \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

z-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი z-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით z-2=0 და z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$z^{2}+3z-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 3-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

მიუმატეთ 9 40-ს.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-3±7}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 7-ს.

$$z=\frac{4}{2}$$

გაყავით 4 2-ზე.

$$z=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-3±7}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 -3-ს.

$$z=-\frac{10}{2}$$

გაყავით -10 2-ზე.

$$z=-5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$z=2 z=-5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+3z-10=0$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

გამოაკელით -10 0-ს.

$$z^{2}+3z=10$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 10 \frac{9}{4}-ს.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად z^{2}+3z+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$z=2 z=-5$$