გადაწყვიტეთ z=xy+e^y/y^2+1.text{Find}partial^2z/partialxpartialy

$$z = x y + \frac { e ^ { y } } { y ^ { 2 } + 1 } . \text { Find } \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq -i\text{ and }y\neq i\text{ and }y\neq 0\\x\in \mathrm{C}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ \left(y-i\right)\left(y+i\right)-ზე.

$$z\left(y-i\right)\left(y+i\right)=xy\left(y-i\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ z y-i-ზე.

$$\left(zy-iz\right)\left(y+i\right)=xy\left(y-i\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ zy-iz y+i-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$zy^{2}+z=xy\left(y-i\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ xy y-i-ზე.

$$zy^{2}+z=\left(xy^{2}-ixy\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ xy^{2}-ixy y+i-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

გამოაკელით e^{y} ორივე მხარეს.

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: x.

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

ორივე მხარე გაყავით y^{3}+y-ზე.

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

y^{3}+y-ზე გაყოფა აუქმებს y^{3}+y-ზე გამრავლებას.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

გაყავით zy^{2}+z-e^{y} y^{3}+y-ზე.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ y^{2}+1-ზე.

$$z\left(y^{2}+1\right)=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ z y^{2}+1-ზე.

$$zy^{2}+z=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ xy y^{2}+1-ზე.

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

გამოაკელით e^{y} ორივე მხარეს.

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: x.

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

ორივე მხარე გაყავით y^{3}+y-ზე.

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

y^{3}+y-ზე გაყოფა აუქმებს y^{3}+y-ზე გამრავლებას.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

გაყავით zy^{2}+z-e^{y} y^{3}+y-ზე.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$