გადაწყვიტეთ y^2-5y-24=0

$$y ^ { 2 } - 5 y - 24 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=-3$$

$$y=8$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ y^{2}-5y-24 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-8 b=3$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(y+a\right)\left(y+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(y-8\right)\left(y+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-8=0 და y+3=0.

$$y=8 y=-3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც y^{2}+ay+by-24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-8 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ y^{2}-5y-24, როგორც \left(y^{2}-8y\right)+\left(3y-24\right).

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(3y-24\right)$$

y-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$y\left(y-8\right)+3\left(y-8\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი y-8 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(y-8\right)\left(y+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-8=0 და y+3=0.

$$y=8 y=-3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$y^{2}-5y-24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -5-ით b და -24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -24.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2}$$

მიუმატეთ 25 96-ს.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±11}{2}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$y=\frac{5±11}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{5±11}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 11-ს.

$$y=\frac{16}{2}$$

გაყავით 16 2-ზე.

$$y=8$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{5±11}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 5-ს.

$$y=-\frac{6}{2}$$

გაყავით -6 2-ზე.

$$y=-3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=8 y=-3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-5y-24=0$$

მიუმატეთ 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y^{2}-5y-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$y^{2}-5y=-\left(-24\right)$$

გამოაკელით -24 0-ს.

$$y^{2}-5y=24$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-5y+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ 24 \frac{25}{4}-ს.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-5y+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=8 y=-3$$