გადაწყვიტეთ y=5x+7text{en}y=8x-8

$$y = 5 x + 7 \text { en } y = 8 x - 8$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=5$$

$$y=32$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$y-8x=-8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-5x=7,y-8x=-8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-5x=7$$

მიუმატეთ 5x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=5x+7$$

ჩაანაცვლეთ 5x+7-ით y მეორე განტოლებაში, y-8x=-8.

$$5x+7-8x=-8$$

მიუმატეთ 5x -8x-ს.

$$-3x+7=-8$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x აქ: y=5x+7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=5\times 5+7$$

გაამრავლეთ 5-ზე 5.

$$y=25+7$$

მიუმატეთ 7 25-ს.

$$y=32$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=32,x=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$y-8x=-8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-5x=7,y-8x=-8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-5\\1&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{-8-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-5\right)}&\frac{1}{-8-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 7-\frac{5}{3}\left(-8\right)\\\frac{1}{3}\times 7-\frac{1}{3}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=32,x=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$y-5x=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$y-8x=-8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-5x=7,y-8x=-8$$

გამოაკელით y-8x=-8 y-5x=7-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-5x+8x=7+8$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-5x+8x=7+8$$

მიუმატეთ -5x 8x-ს.

$$3x=7+8$$

მიუმატეთ 7 8-ს.

$$3x=15$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x აქ: y-8x=-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-8\times 5=-8$$

გაამრავლეთ -8-ზე 5.

$$y-40=-8$$

მიუმატეთ 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=32$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=32,x=5$$