გადაწყვიტეთ y=2x/5text{y}5x+y+5=0

$$y = 2 x / 5 \text { y } 5 x + y + 5 = 0$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-\frac{25}{27}\approx -0.925925926$$

$$y=-\frac{10}{27}\approx -0.37037037$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{2x}{5} ორივე მხარეს.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$5y-2x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x+y=-5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5y-2x=0$$

მიუმატეთ 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=2x$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=\frac{1}{5}\times 2x$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 2x.

$$y=\frac{2}{5}x$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2x}{5}-ით y მეორე განტოლებაში, y+5x=-5.

$$\frac{2}{5}x+5x=-5$$

მიუმატეთ \frac{2x}{5} 5x-ს.

$$\frac{27}{5}x=-5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{27}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{25}{27}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{25}{27}-ით x აქ: y=\frac{2}{5}x. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{2}{5}\left(-\frac{25}{27}\right)$$

გაამრავლეთ \frac{2}{5}-ზე -\frac{25}{27} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=-\frac{10}{27}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{2x}{5} ორივე მხარეს.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$5y-2x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x+y=-5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{2}{27}\\-\frac{1}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-5\right)\\\frac{5}{27}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{27}\\-\frac{25}{27}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{2x}{5} ორივე მხარეს.

$$y-\frac{2x}{5}=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$5y-2x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x+y=-5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5y-2x=0,y+5x=-5$$

იმისათვის, რომ 5y და y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$5y-2x=0,5y+5\times 5x=5\left(-5\right)$$

გაამარტივეთ.

$$5y-2x=0,5y+25x=-25$$

გამოაკელით 5y+25x=-25 5y-2x=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5y-5y-2x-25x=25$$

მიუმატეთ 5y -5y-ს. პირობები 5y და -5y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2x-25x=25$$

მიუმატეთ -2x -25x-ს.

$$-27x=25$$

ორივე მხარე გაყავით -27-ზე.

$$x=-\frac{25}{27}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{25}{27}-ით x აქ: y+5x=-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+5\left(-\frac{25}{27}\right)=-5$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{25}{27}.

$$y-\frac{125}{27}=-5$$

მიუმატეთ \frac{125}{27} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-\frac{10}{27}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{10}{27},x=-\frac{25}{27}$$