გადაწყვიტეთ y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-26$$

$$y=-44$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{4}{3}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

მიუმატეთ \frac{4x}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-28+4x}{3}-ით y მეორე განტოლებაში, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

მიუმატეთ \frac{4x}{3} -2x-ს.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

მიუმატეთ \frac{28}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-26$$

ჩაანაცვლეთ -26-ით x აქ: y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{3}-ზე -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{28}{3} -\frac{104}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=-44$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-44,x=-26$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{4}{3}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-44,x=-26$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{4}{3}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

გამოაკელით y-2x=8 y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

მიუმატეთ -\frac{4x}{3} 2x-ს.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

მიუმატეთ -\frac{28}{3} -8-ს.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-26$$

ჩაანაცვლეთ -26-ით x აქ: y-2x=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

გაამრავლეთ -2-ზე -26.

$$y+52=8$$

გამოაკელით 52 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-44$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-44,x=-26$$