გადაწყვიტეთ x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5.061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0.061737691$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

დაამატეთ 16x^{2} ორივე მხარეს.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

გამოაკელით 81x ორივე მხარეს.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

დააჯგუფეთ x და -81x, რათა მიიღოთ -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, -80-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 6400 320-ს.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

აიღეთ 6720-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

-80-ის საპირისპიროა 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 80 8\sqrt{105}-ს.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

გაყავით 80+8\sqrt{105} 32-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8\sqrt{105} 80-ს.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

გაყავით 80-8\sqrt{105} 32-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

დაამატეთ 16x^{2} ორივე მხარეს.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

გამოაკელით 81x ორივე მხარეს.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

დააჯგუფეთ x და -81x, რათა მიიღოთ -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-80x=5$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

16-ზე გაყოფა აუქმებს 16-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

გაყავით -80 16-ზე.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{16} \frac{25}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$