გადაწყვიტეთ x-2sqrt{x}-1=0

$$x - 2 \sqrt { x } - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=2\sqrt{2}+3\approx 5.828427125$$

ამონახსნის ეტაპები

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$x-2\sqrt{x}=1$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2\sqrt{x}=1-x$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-2\sqrt{x}\right)^{2}=\left(1-x\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(1-x\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის -2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(1-x\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x} ხარისხი და მიიღეთ x.

$$4x=\left(1-x\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4x=1-2x+x^{2}$$

დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$4x+2x=1+x^{2}$$

დააჯგუფეთ 4x და 2x, რათა მიიღოთ 6x.

$$6x=1+x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$6x-x^{2}=1$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+6x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+6x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+6x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 6-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 36 -4-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{32}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 32-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{2}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±4\sqrt{2}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 4\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-6}{-2}$$

გაყავით -6+4\sqrt{2} -2-ზე.

$$x=3-2\sqrt{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±4\sqrt{2}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{2} -6-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-6}{-2}$$

გაყავით -6-4\sqrt{2} -2-ზე.

$$x=2\sqrt{2}+3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3-2\sqrt{2} x=2\sqrt{2}+3$$

ჩაანაცვლეთ 3-2\sqrt{2}-ით x განტოლებაში, x-2\sqrt{x}-1=0.

$$3-2\sqrt{2}-2\sqrt{3-2\sqrt{2}}-1=0$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=3-2\sqrt{2} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$4-4\times 2^{\frac{1}{2}}=0$$

ჩაანაცვლეთ 2\sqrt{2}+3-ით x განტოლებაში, x-2\sqrt{x}-1=0.

$$2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2\sqrt{2}+3}-1=0$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=2\sqrt{2}+3 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$0=0$$

განტოლებას -2\sqrt{x}=1-x აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=2\sqrt{2}+3$$