გადაწყვიტეთ x^4-2x^2-1=0

$$x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=i\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx 0.643594253i$$

$$x=-i\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx -0-0.643594253i$$

$$x=-\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx -1.553773974$$

$$x=\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx 1.553773974$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ჩაანაცვლეთ t-ით x^{2}.

$$t^{2}-2t-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -2 b-თვის და -1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$t=\sqrt{2}+1 t=1-\sqrt{2}$$

რადგან x=t^{2}, ამონახსნები მიიღება x=±\sqrt{t}-ის შეფასებით ყოველი t-თვის.

$$x=-\sqrt{\sqrt{2}+1} x=\sqrt{\sqrt{2}+1} x=-i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)} x=i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx -1.553773974$$

$$x=\sqrt{\sqrt{2}+1}\approx 1.553773974$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ჩაანაცვლეთ t-ით x^{2}.

$$t^{2}-2t-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -2 b-თვის და -1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება t=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$t=\sqrt{2}+1 t=1-\sqrt{2}$$

რადგან x=t^{2}, ამონახსნები მიიღება x=±\sqrt{t}-ის შეფასებით დადებითი t-თვის.

$$x=\sqrt{\sqrt{2}+1} x=-\sqrt{\sqrt{2}+1}$$