გადაწყვიტეთ x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1.414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1.414213562i$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x-3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

დაამატეთ 12x ორივე მხარეს.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-9 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{4}-4x^{2}+12x-9 x-1-ზე x^{3}+x^{2}-3x+9-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს9 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-3$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}+x^{2}-3x+9 x+3-ზე x^{2}-2x+3-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -2 b-თვის და 3 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}-2x+3=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-3$$

$$x=1$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x-3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

დაამატეთ 12x ორივე მხარეს.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-9 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{4}-4x^{2}+12x-9 x-1-ზე x^{3}+x^{2}-3x+9-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს9 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-3$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}+x^{2}-3x+9 x+3-ზე x^{2}-2x+3-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -2 b-თვის და 3 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული რეალურ ველში, ამონახსნი არ არსებობს.

$$x\in \emptyset$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=-3$$