გადაწყვიტეთ x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

ამოხსნა A-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+A x^{2}-1-ზე.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

გამოაკელით x^{4} ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

დააჯგუფეთ x^{4} და -x^{4}, რათა მიიღოთ 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

დაამატეთ x^{2} ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

გამოაკელით Bx ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

გამოაკელით C ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: A.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

ორივე მხარე გაყავით x^{2}-1-ზე.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

x^{2}-1-ზე გაყოფა აუქმებს x^{2}-1-ზე გამრავლებას.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

ამოხსნა B-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+A x^{2}-1-ზე.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

გამოაკელით x^{4} ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

დააჯგუფეთ x^{4} და -x^{4}, რათა მიიღოთ 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

დაამატეთ x^{2} ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

გამოაკელით Ax^{2} ორივე მხარეს.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

დაამატეთ A ორივე მხარეს.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

გამოაკელით C ორივე მხარეს.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

გადაალაგეთ წევრები.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

ორივე მხარე გაყავით x-ზე.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

x-ზე გაყოფა აუქმებს x-ზე გამრავლებას.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

ამოხსნა A-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+A x^{2}-1-ზე.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

გამოაკელით x^{4} ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

დააჯგუფეთ x^{4} და -x^{4}, რათა მიიღოთ 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

დაამატეთ x^{2} ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

გამოაკელით Bx ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

გამოაკელით C ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: A.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

ორივე მხარე გაყავით x^{2}-1-ზე.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

x^{2}-1-ზე გაყოფა აუქმებს x^{2}-1-ზე გამრავლებას.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

ამოხსნა B-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+A x^{2}-1-ზე.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

გამოაკელით x^{4} ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

დააჯგუფეთ x^{4} და -x^{4}, რათა მიიღოთ 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

დაამატეთ x^{2} ორივე მხარეს.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

გამოაკელით Ax^{2} ორივე მხარეს.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

დაამატეთ A ორივე მხარეს.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

გამოაკელით C ორივე მხარეს.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

გადაალაგეთ წევრები.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

ორივე მხარე გაყავით x-ზე.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

x-ზე გაყოფა აუქმებს x-ზე გამრავლებას.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$