გადაწყვიტეთ x^3=512

$$x ^ { 3 } = 512$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-4\sqrt{3}i-4\approx -4-6.92820323i$$

$$x=8$$

$$x=-4+4\sqrt{3}i\approx -4+6.92820323i$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით 512 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-512=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-512 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=8$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-512 x-8-ზე x^{2}+8x+64-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+8x+64=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 8 b-თვის და 64 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}+8x+64=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=8 x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=8$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით 512 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-512=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-512 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=8$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-512 x-8-ზე x^{2}+8x+64-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+8x+64=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 8 b-თვის და 64 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული რეალურ ველში, ამონახსნი არ არსებობს.

$$x\in \emptyset$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=8$$