გადაწყვიტეთ x^2-x-11=0

$$x ^ { 2 } - x - 11 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 1}{2} \approx 3.854101966$$

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}\approx -2.854101966$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-x-11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -1-ით b და -11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-11\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -11.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+44}}{2}$$

მიუმატეთ 1 44-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{45}}{2}$$

აიღეთ 45-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 3\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3\sqrt{5} 1-ს.

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-11=0$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-x=-\left(-11\right)$$

გამოაკელით -11 0-ს.

$$x^{2}-x=11$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=11+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 11 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{45}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$