გადაწყვიტეთ x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-6$$

$$x=7$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

გამოაკელით 42 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-x-42=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-x-42 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=-42$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-7 b=6$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-7=0 და x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 42 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-x-42=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-42. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-7 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-x-42, როგორც \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

x-ის პირველ, 6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-7=0 და x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-x=42$$

გამოაკელით 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

42-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-x-42=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -1-ით b და -42-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -42.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

მიუმატეთ 1 168-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±13}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 13-ს.

$$x=\frac{14}{2}$$

გაყავით 14 2-ზე.

$$x=7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±13}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 1-ს.

$$x=-\frac{12}{2}$$

გაყავით -12 2-ზე.

$$x=-6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=7 x=-6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x=42$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 42 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=7 x=-6$$