გადაწყვიტეთ x^2-6x+11=0

$$x ^ { 2 } - 6 x + 11 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-6x+11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -6-ით b და 11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

მიუმატეთ 36 -44-ს.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

აიღეთ -8-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-6-ის საპირისპიროა 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 6 2i\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

გაყავით 6+2i\sqrt{2} 2-ზე.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{2} 6-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

გაყავით 6-2i\sqrt{2} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

გამოაკელით 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

გაყავით -6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

მიუმატეთ -11 9-ს.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-6x+9. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

გაამარტივეთ.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$