გადაწყვიტეთ x^2-4x+1=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3.732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0.267949192$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-4x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -4-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

მიუმატეთ 16 -4-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

აიღეთ 12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 2\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

გაყავით 4+2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=\sqrt{3}+2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{3} 4-ს.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

გაყავით 4-2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=2-\sqrt{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

გაყავით -4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

მიუმატეთ -1 4-ს.

$$x^{2}-4x+4=3$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

გაამარტივეთ.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$