გადაწყვიტეთ x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

უტოლობის ამოსახსნელად დაშალეთ მამრავლებად მარცხენა მხარე. კვადრატული მრავალწევრი შეიძლება მამრავლებად დაიშალოს გარდაქმნით ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), სადაც x_{1} და x_{2} კვადრატული განტოლების ax^{2}+bx+c=0 ამონახსნებია.

$$x^{2}-2x-5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -2 b-თვის და -5 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

ხელახლა ჩაწერეთ უტოლობა მიღებული ამონახსნების გამოყენებით.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

უარყოფითი ნამრავლის მისაღებად x-\left(\sqrt{6}+1\right)-ს და x-\left(1-\sqrt{6}\right)-ს უნდა ჰქონდეთ საპირისპირო ნიშნები. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც x-\left(\sqrt{6}+1\right) დადებითია და x-\left(1-\sqrt{6}\right) უარყოფითი.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

ეს არის მცდარი ნებისმიერი x-თვის.

$$x\in \emptyset$$

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც x-\left(1-\sqrt{6}\right) დადებითია და x-\left(\sqrt{6}+1\right) უარყოფითი.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე უტოლობას, არის x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

საბოლოო ამონახსნი წარმოადგენს მიღებული ამონახსნების გაერთიანებას.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$