გადაწყვიტეთ x^2-15x+100=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7.5+6.614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7.5-6.614378278i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-15x+100=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -15-ით b და 100-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

მიუმატეთ 225 -400-ს.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

აიღეთ -175-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 15 5i\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5i\sqrt{7} 15-ს.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+100=0$$

გამოაკელით 100 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

100-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-15x=-100$$

გაყავით -15, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{15}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{15}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{15}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

მიუმატეთ -100 \frac{225}{4}-ს.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-15x+\frac{225}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$