გადაწყვიტეთ x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=6$$

$$x=7$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-13x+42 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-13 ab=42$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -13.

$$a=-7 b=-6$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-7=0 და x-6=0.

$$x=7 x=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+42. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -13.

$$a=-7 b=-6$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-13x+42, როგორც \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

x-ის პირველ, -6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-7=0 და x-6=0.

$$x=7 x=6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-13x+42=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -13-ით b და 42-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

მიუმატეთ 169 -168-ს.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13-ის საპირისპიროა 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{13±1}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 13 1-ს.

$$x=\frac{14}{2}$$

გაყავით 14 2-ზე.

$$x=7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{13±1}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 13-ს.

$$x=\frac{12}{2}$$

გაყავით 12 2-ზე.

$$x=6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=7 x=6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

გამოაკელით 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

42-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

გაყავით -13, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{13}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{13}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{13}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

მიუმატეთ -42 \frac{169}{4}-ს.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-13x+\frac{169}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{13}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=7 x=6$$