გადაწყვიტეთ x^2+x-30=0

$$x ^ { 2 } + x - 30 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-6$$

$$x=5$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+x-30 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=-30$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-5 b=6$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-30. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-5 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+x-30, როგორც \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

x-ის პირველ, 6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+x-30=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 1-ით b და -30-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -30.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2}$$

მიუმატეთ 1 120-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±11}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±11}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 11-ს.

$$x=\frac{10}{2}$$

გაყავით 10 2-ზე.

$$x=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±11}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 -1-ს.

$$x=-\frac{12}{2}$$

გაყავით -12 2-ზე.

$$x=-6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=5 x=-6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-30=0$$

მიუმატეთ 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

-30-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+x=-\left(-30\right)$$

გამოაკელით -30 0-ს.

$$x^{2}+x=30$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 30 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-6$$