გადაწყვიტეთ x^2+x=20

$$x ^ { 2 } + x = 20$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-5$$

$$x=4$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x-20=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+x-20 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=-20$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-4 b=5$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-4\right)\left(x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-4=0 და x+5=0.

$$x=4 x=-5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x-20=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-20. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-4 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+x-20, როგორც \left(x^{2}-4x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(5x-20\right)$$

x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-4\right)\left(x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-4=0 და x+5=0.

$$x=4 x=-5$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+x=20$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x-20=20-20$$

20-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+x-20=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 1-ით b და -20-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-20\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2}$$

მიუმატეთ 1 80-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2}$$

აიღეთ 81-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±9}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±9}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 9-ს.

$$x=\frac{8}{2}$$

გაყავით 8 2-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±9}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 9 -1-ს.

$$x=-\frac{10}{2}$$

გაყავით -10 2-ზე.

$$x=-5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=-5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x=20$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 20 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+x+\frac{1}{4}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4 x=-5$$