გადაწყვიტეთ x^2+x+1+11/x^2+x-1=14

$$x ^ { 2 } + x + 1 + \frac { 11 } { x ^ { 2 } + x - 1 } = 14$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x=1$$

$$x=3$$

$$x=-4$$

ამონახსნის ეტაპები

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ \left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)-ზე.

$$\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5}-ის კვადრატია 5.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გადაამრავლეთ -\frac{1}{4} და 5, რათა მიიღოთ -\frac{5}{4}.

$$\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

შეკრიბეთ -\frac{5}{4} და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ -1.

$$\left(x^{2}+x-1\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+x-1 x^{2}-ზე.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5}-ის კვადრატია 5.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გადაამრავლეთ -\frac{1}{4} და 5, რათა მიიღოთ -\frac{5}{4}.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

შეკრიბეთ -\frac{5}{4} და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ -1.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-1\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+x-1 x-ზე.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+x^{3}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

დააჯგუფეთ x^{3} და x^{3}, რათა მიიღოთ 2x^{3}.

$$x^{4}+2x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5}-ის კვადრატია 5.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

გადაამრავლეთ -\frac{1}{4} და 5, რათა მიიღოთ -\frac{5}{4}.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

შეკრიბეთ -\frac{5}{4} და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ -1.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

დააჯგუფეთ -x და x, რათა მიიღოთ 0.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

შეკრიბეთ -1 და 11, რათა მიიღოთ 10.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 14 x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ზე.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=\left(14x+7\sqrt{5}+7\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 14x+7\sqrt{5}+7 x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{7}{2}$$

\sqrt{5}-ის კვადრატია 5.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\times 5+\frac{7}{2}$$

გადაამრავლეთ -\frac{7}{2} და 5, რათა მიიღოთ -\frac{35}{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{35}{2}+\frac{7}{2}$$

შეკრიბეთ -\frac{35}{2} და \frac{7}{2}, რათა მიიღოთ -14.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-14$$

გამოაკელით 14x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10-14x^{2}=14x-14$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -14x^{2}, რათა მიიღოთ -13x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10=14x-14$$

გამოაკელით 14x ორივე მხარეს.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x=-14$$

დაამატეთ 14 ორივე მხარეს.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x+14=0$$

შეკრიბეთ 10 და 14, რათა მიიღოთ 24.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+24-14x=0$$

გადაალაგეთ განტოლების წევრები, რათა მიიღოს სტანდარტული ფორმა. განალაგეთ წევრები უდიდესი ხარისხიდან უმცირეს ხარისხამდე თანმიმდევრობით.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს24 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24 x-1-ზე x^{3}+3x^{2}-10x-24-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{3}+3x^{2}-10x-24=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-24 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-2$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}+3x^{2}-10x-24 x+2-ზე x^{2}+x-12-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+x-12=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 1 b-თვის და -12 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-12\right)}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-1±7}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}+x-12=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=-4 x=3$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=-2 x=-4 x=3$$