გადაწყვიტეთ x^2+5x+14=0

$$x ^ { 2 } + 5 x + 14 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}\approx -2.5+2.783882181i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}\approx -2.5-2.783882181i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+5x+14=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 5-ით b და 14-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 14}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 14}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 14.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-56}}{2}$$

მიუმატეთ 25 -56-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-31}}{2}$$

აიღეთ -31-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 i\sqrt{31}-ს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{31} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+14=0$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+5x+14-14=-14$$

14-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+5x=-14$$

გაყავით 5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-14+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ -14 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{31}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}$$