გადაწყვიტეთ x^2+25x=-84

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-21$$

$$x=-4$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

დაამატეთ 84 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+25x+84=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+25x+84 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=25 ab=84$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 25.

$$a=4 b=21$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+4=0 და x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

დაამატეთ 84 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+25x+84=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+84. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 25.

$$a=4 b=21$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+25x+84, როგორც \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

x-ის პირველ, 21-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+4=0 და x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+25x=-84$$

მიუმატეთ 84 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

-84-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

გამოაკელით -84 0-ს.

$$x^{2}+25x+84=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 25-ით b და 84-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

მიუმატეთ 625 -336-ს.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

აიღეთ 289-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±17}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -25 17-ს.

$$x=-\frac{8}{2}$$

გაყავით -8 2-ზე.

$$x=-4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±17}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 17 -25-ს.

$$x=-\frac{42}{2}$$

გაყავით -42 2-ზე.

$$x=-21$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4 x=-21$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x=-84$$

გაყავით 25, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{25}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{25}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{25}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

მიუმატეთ -84 \frac{625}{4}-ს.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+25x+\frac{625}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

გამოაკელით \frac{25}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-4 x=-21$$