გადაწყვიტეთ x^2+20x=-75

$$x ^ { 2 } + 20 x = - 75$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-15$$

$$x=-5$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

დაამატეთ 75 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+20x+75=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+20x+75 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=20 ab=75$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 20.

$$a=5 b=15$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+5=0 და x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

დაამატეთ 75 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+20x+75=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+75. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 20.

$$a=5 b=15$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+20x+75, როგორც \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

x-ის პირველ, 15-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+5=0 და x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+20x=-75$$

მიუმატეთ 75 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=-75-\left(-75\right)$$

-75-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=0$$

გამოაკელით -75 0-ს.

$$x^{2}+20x+75=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 20-ით b და 75-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

მიუმატეთ 400 -300-ს.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

აიღეთ 100-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±10}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -20 10-ს.

$$x=-\frac{10}{2}$$

გაყავით -10 2-ზე.

$$x=-5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±10}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10 -20-ს.

$$x=-\frac{30}{2}$$

გაყავით -30 2-ზე.

$$x=-15$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5 x=-15$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x=-75$$

გაყავით 20, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 10-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 10-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

მიუმატეთ -75 100-ს.

$$x^{2}+20x+100=25$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+20x+100. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

გაამარტივეთ.

$$x+10=5 x+10=-5$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-5 x=-15$$