გადაწყვიტეთ x^2+2x=1

$$x ^ { 2 } + 2 x = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$x=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2.414213562$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+2x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+2x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+2x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 2-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

მიუმატეთ 4 4-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

აიღეთ 8-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

გაყავით -2+2\sqrt{2} 2-ზე.

$$x=\sqrt{2}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{2} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

გაყავით -2-2\sqrt{2} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=1$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

მიუმატეთ 1 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=2$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$x=-\sqrt{2}-1\approx -2.414213562$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+2x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+2x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+2x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 2-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

მიუმატეთ 4 4-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

აიღეთ 8-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

გაყავით -2+2\sqrt{2} 2-ზე.

$$x=\sqrt{2}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{2} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

გაყავით -2-2\sqrt{2} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=1$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

მიუმატეთ 1 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=2$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$