გადაწყვიტეთ x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-32$$

$$x=16$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+16x-512 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=16 ab=-512$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 16.

$$a=-16 b=32$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-16=0 და x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-512. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 16.

$$a=-16 b=32$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+16x-512, როგორც \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

x-ის პირველ, 32-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-16 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-16=0 და x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+16x-512=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 16-ით b და -512-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

მიუმატეთ 256 2048-ს.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

აიღეთ 2304-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±48}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -16 48-ს.

$$x=\frac{32}{2}$$

გაყავით 32 2-ზე.

$$x=16$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±48}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 48 -16-ს.

$$x=-\frac{64}{2}$$

გაყავით -64 2-ზე.

$$x=-32$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=16 x=-32$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

მიუმატეთ 512 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

-512-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

გამოაკელით -512 0-ს.

$$x^{2}+16x=512$$

გაყავით 16, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 8-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 8-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

მიუმატეთ 512 64-ს.

$$x^{2}+16x+64=576$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+16x+64. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

გაამარტივეთ.

$$x+8=24 x+8=-24$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=16 x=-32$$